《盗梦空间》中的数学原理和逻辑上（转载）

Ray

       Inception中其实大量运用了数学知识， 但许多的确超出一般人的数学知识范围，甚至是所谓的数学专业的。 这也恐怕正是很多人看不懂它的原因吧。 Inception中许多假设和现像其实都来源于现代数学中几何研究。 主要的就是流形(manifold).

       一些观众看过之后，觉得Inception很玄，而且许多地方不合逻辑。但在我看来，很少有比Inception结构更严谨的剧本了。 Inception的结构就像一部论文一样，而且还是证明式的。
　　
　　它其本上分作三段。第一段是从开始到Leo遇到萝莉为止。这一段是描述问题。第二段是Leo教小萝莉。这段是提出基本原理和依据。第三段是潜入梦中一段，这段其实是论证部分，并推导出结论。
　　 　　
　　整个故事高潮是第三部分，但故事逻辑的核心的第二部分。这一部分许多观众说感觉沉闷，像是在上课。的确如此，因为故事的核心其实是靠对话对出来的，而且更像是示教式的。
　　
　　为什么是这样呢？因为如果用上课这种最容易明白的方式讲给你听你还不懂的话，你就没有没法懂这片子了。让我们来看看这段中的几个问题。
　　
　　第一个问题：为什么要潜入梦中去呢。Leo讲：潜入梦中可以改变一个人的想法。一个人就是一个想法。想法变了，它就不是它了。（这种放之四海皆准的道理居然有人不知道）
　　
　　第二个问题：怎样骗过人呢？ Leo讲：人在醒的时候，其实有一段时间是根本分不清梦中的是真的，还是眼前的是真的。它实际是通过一些标准来判断是己是不是在现实中。
这其实就是整个电影的最关键。也是整个论文的题目和基本假设。
　　
　　那么Leo是怎么做到的呢，这是Leo说他是靠陀螺。如果它转不停，就是在梦境中，
如果它能停下来，就不是在梦境中。许多观众看到这很容易懂。实际上我要问，这说明什么，梦境有什么特点。
　　 　　
　　接着Leo教小萝莉造梦的时候，把世界整个上下对折，形成了一个盒子壮的结构。观众们被眼前的景象惊呆了。这又说明什么？如果世界变成这样了，梦中人一眼就能看出来不对， Leo为什么展示这种世界呢？
　　 　　
　　还有另一小帅哥教小萝莉的时候，让它走了一段楼梯，走了四段，一直向感觉向上，实际上走了一个死圈。导演想说明什么呢？说到这份上了还不明白嘛？
　　 　　
　　那还有呢。最开始的时候，Leo试小萝莉的智商，让小萝莉画迷宫。小萝莉先画了两个迷宫，Leo一下就走出来了，但第三个Leo没出来。有什么特点呢？在头二个迷宫都是有棱有角的，第三个迷官是在画圈。这是在说什么呢？
　　 　　
　　到这为止，Leo充分展示了机智，概括起来就把人困在梦里的方法就是让人跑圈。
按照数学上的语言来说，Leo认为真实的世界应是欧式空间，而梦中的世界是非欧式空间。
　　
　　诺兰是建筑迷，免不了的也是几何迷，它其实是给观从上了一堂示例教学的几何课。
　　
　　我们的空间是三维的，如果你把时间算进去就是四维的，如果时间这个维度上画圈，那个陀螺就转不停了。
　　
　　而其它的那个例子其实都是低维度的非欧空间的示例。
　　
　　在一维度上，欧式空间就是直线，非欧空间可以是圆圈。
　　
　　在二维度上，欧式空间是平面，非欧式空间可以有多种，
　　
　　一种就是那个楼梯，如果没记错的话是乌比斯环面，这个很怪的，因为这个二面相通，分不出正反面来。
　　
　　另一种就球面，就是世界上下对折。
　　
　　实际上还有许多种，如圆环表面，环面，圆柱，还有克莱因瓶。
　　
　　至于三维的，情况更多，但是只有在四维空间中才可见，如果你能想明白，你可以搞相对论。
　　
　　多好的一堂几何课啊。 　　
　　
　　接下来一个问题，为什么要玩非欧空间。
　　
　　这个道理很简单，造梦师能想到的东西是有限的，如果你想把人困住，就要给它一种无限的错觉。
　　
　　如果你把被骗的人想成是一只小虫子的话，只能在二维的世界中到处跑。
　　
　　如果是欧式空间的话是个平面，设计的梦是有限，你只能设计一个很大的圆。
　　
　　那这只小虫总有一天会跑这个圆的。
　　
　　但是如果这是一个球面的话，就不一样了，不管小虫如何跑，都跑不出这个球表面。 　　
　　
　　引申一个问题测一下你的理解，小帅用的是色子，小帅怎么来验是不是在梦中呢？
　　
　　答，如果在梦中，小帅的色子数会以周期性重复。 　　
　　
　　这些几何结构其实叫流形，流形跟欧式空间的区别就是局部相似，全局上不同。
　　
　　以一维为例，一维的欧式是直线，非欧的是圆。
　　
　　如果你取出直线的一部分，再取出圆上的一部分，你得到线段和圆弧。
　　
　　如果线段比较短，或是圆的半径比较大的话，这两者的差别就非常小，你就分不出业。
　　
　　所以，如果你只看那陀螺一眼，或是只走一段楼梯，或是只生活在对折世界中的一部分的话，你是发现不了不同的。
　　
　　但是在全局上，有则本质的区别。
　　
　　直线向二端无限申展，而圆只能重复自己。
　　
　　片中前者是真实世界，后者就是梦中了。 　　
　　
　　实际上这件事玩数学的己经知道了有二三百年了，
　　
　　最开始想这个问题的人其实是高斯（牛到无法形容的人，你要是不知道你上过学吗？）
　　
　　高斯最初作过一段时间的测绘工作（因此搞出了高斯分布和小二乘法，你不知道你上过大学吗？），
　　
　　于是发现在地面看的直线在塔楼上看不是直的（这种事我也见过，但没敢想那么多？）
　　
　　于是问究竟什么是弯，什么是直(牛人都有犯神经的病，比我严重得多）
　　
　　想了一下，发现这个问题会影响到许多问题，几何学要重写（是啊，如果没有直线，还有几何吗，高斯的确是非欧的开山之人）
　　
　　高斯想到这个问题，便没有给答案，但他给出了几何概念的解析定义（就是不用尺量，用向量公式算），于是创立了微分几何（哎，天天用的东西，不会不行）。
　　
　　因此我们才知道非欧空间中的一个重要特性，三角形的内角合不是180度。（这是真的，在球面上，直线是最短的测地线，角度是测地线微分向量的点积）。
　　
　　并且方法也可以弄到高维去（只要有作标系，有向量就行）。
　　
　　这还不算完，不久高斯的学生黎曼问了一更牛的问题（天才教出的天才，也只有天才能教，可惜死的早，没看上inception上映啊).
　　
　　高斯只是把图形弄弯了，作标系还是直的。
　　
　　黎曼问，作标系能不能是弯的呢？（你有病啊，如果一般老师一定这么说）。
　　
　　如果作标系是弯的，那长度角度还有什么意义吗？（当时许多人认为黎曼问的不是数学，是哲学）。
　　
　　在梦中，你怎么知道真实，这是一个Inception中哲学问题。
　　
　　在一个曲线作标中，你怎么画直线，这就是把哲学问题转化成了等价的数学问题。
　　
　　于是黎曼在曲线作标上，又搞出了一套东西，就是今天的黎曼流形和黎曼量度。
　　
　　在100多年中，没人理解黎曼的贡献。
　　
　　而后影响了电影制作（Inception)，再就是物理上的相对论（你不知道你还是地球人吗？） 　　
　　
　　现在你知道Leo的角有多聪明了吧（不当聪明，更主要的是有知识，你以为建筑系的天才就是考试分高吗？）
　　
　　你也明白诺兰不只是有想象力，而且非常严谨。（主要是观众普遍知识水平偏低，以为诺兰是玩穿越搞爱情）。
　　
　　但是诺兰的世界中还不仅仅如此。
　　 　　
　　当Leo找老教授要天才帮手时，
　　
　　老教授说给你找个比你还天才的小萝莉。
　　
　　实际上全片中教一个最大的疑问，在后面我将详细分析，就是天才小萝莉究意作了什么。
　　
　　第三段中其本没什么表现。
　　
　　而在第二段中如果你看明白的话，你会发现小萝莉比Leo强出一个数量级。
　　
　　第一小萝莉学的非常之快。
　　
　　第二小萝莉潜入到的Leo的内心中。
　　
　　第三小萝莉第一次玩梦境就把Leo玩崩了。
　　
　　第四点，是小萝莉验证梦的方法：把一个象棋推倒。
　　
　　注意了：他的方法跟其它人是完全不同的。
　　
　　所以说小萝莉的梦中世界的几何结构跟其它人完全不相同。

　　你猜！
　　
　　你猜！
　　
　　你接着猜！
　　
　　我知道，但说真的，我也没想到。
　　
　　诺兰啊，亏你想得出来。
　　
　　是分形 fractal!
　　
　　让我们来回想下，
　　
　　第二段中，
　　
　　一开始都是别人教小萝莉，
　　
　　当小夢莉向世人展示他将如何弄倒Leo老帅男的时候，
　　
　　小萝莉是这样做的：
　　
　　他把Leo带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，于是在二镜子中出现无穷无尽的人影。
　　
　　诺兰多巧妙啊，这是多美的比喻啊。
　　
　　如果人是真实，镜中像就是梦中像，梦是可以无穷无尽的。
　　
　　更绝的是如果你在镜中一点，如果你将它放大，你将得到一个完整的人。
　　
　　这种嵌套是无限度的。
　　
　　而在每一点上放大，你将得到另一个无穷无尽的世界。
　　
　　这就像在梦中的一点，你将时间一延长，你将得到另一个梦世界。
　　
　　并且这种缩放的比例是一定的，在梦中，缩放的是一个时间量。
　　
　　而在镜中，缩放的是人像的大小。
　　
　　在梦中，取决于人脑的固有性质，
　　
　　而在现实中，取决于两镜面之间的距离。
　　
　　不当在场面上好看，
　　
　　在逻辑上更是绝了。
　　
　　真是绝了，
　　
　　绝了啊。
　　
　　还怎么说啊。