FRM考试：指数化的方法

brooke

    一旦一个货币经营者决定采用一种指数化策略，并且选择了一种指数（不论是综合指数、次级指数还是个案决定指数），下一步就是要建立遵循这种指数的一种证券组合。这种指数化证券组合的绩效与这些指数（不论是正的还是负的）之间的任何偏差，都被称为“追随误差”。追随误差的形成有三个起因：

    （1）建立这种指数化证券组合的交易成本

    （2）指数化证券组合的构成与指数本身的差异

    （3）编制指数机构所使用的价格与指数追随者所支付的交易价格之间的偏差。

    建立指数化证券组合的一种方法是，货币经营者按照各种证券在基准指数中的权重购买该指数中的所有证券。虽然指数化的证券组合将显然反映出在发生交易成本之前这种指数的绩效，而追随误差将由于种种交易成本而出现，这些交易成本是与购买各种证券并将现金流量（本金和息票利息）再投资相联系的。由于综合债券指数可能包括5，000种以上的债券，其巨大的交易成本可能使这种方法不大实际。此外，指数中的某些证券可能无法用编制指数时使用的那个价格买到。

    与购买指数中的所有证券的做法不同，货币经营者可能只购买一个样本中的证券。虽然这种方法减少了由于巨大的交易成本导致的追随误差，却增加了由于指数化证券组合与指数的不匹配而导致的追随误差。

    一般说来，用于复制指数的证券种类越少，由交易成本导致的追随误差也就越小。但是由于指数化证券组合与指数的不匹配而导致追随误差风险就越大。反过来，用于复制指数而购买的证券种类越多，由交易成本导致的追随误差也就越大，但是由于指数化证券组合与指数的不匹配而造成的追随误差风险却越小。因此显然，在追随误差与用于建立指数化证券组合时所使用的证券种类多少之间存在一种抵消关系。

    为了按某种指数要求建立一种证券组合，有三种常用的方法：

    （1）分层抽样或方格方法

    （2）优化方法

    （3）方差最小化方法

    就其中的每一种方法而言，每个指数编制人必然提出的第一个问题就是：影响一种债券指数绩效的因素是什么？这三种方法都假设：每种债券的绩效取决于影响所有债券绩效的一系列制度性因素和仅影响该种债券的某种因素。这三种方法的目的都是建立这样一种指数化证券组合，使之能够消除对该指数化证券组合中所有证券都起作用的一些因素所导致的绩效。

    分层抽样或方格式的方法

    采用这种方法，指数被分解为一些方格，每一个方格代表了指数的不同特征。分解一个指数最常用的特征是：期限、息票、到期时间、市场部门（包括国库券、公司债券和抵押担保债券）、信用等级、提前赎回因素、偿债基金的特点。后两个因素特别重要，因为每种债券的提前赎回和以新偿旧特点将影响其绩效。

    例如，假设我们选择了下述特征来划分一种国库/联邦信贷机构/公司债券指标：

    特征1：经提前赎回调整的期限

    1、小于或等于5年

    2、大于5年

    特征2：到期时间

    1、小于5年

    2、在5-15年之间

    3、大于15年

    特征3：市场部门

    1、国库券

    2、联邦信贷机构债券

    3、公司债券

    特征4：信用等级

    1、AAA

    2、AA

    3、A

    4、BBB

    方格的总数就等于：2*3*3*4=72

    目标然后就是从该指数的所有证券中选出可用于代表每一个方格一种或几种证券。购买每个方格中的债券的全部金额，将以这个方格在该指数的总市场价值中占的百分比为基础来确定。例如，如果该指数中全部证券的总市场价值中有40%是公司债券，那么，指数化的证券组合中市场价值的40%就应该由公司债券构成。

    这种指数所使用的方格数目，将取决于建立指数化资产组合时所使用的先尽量。例如，为了使少于5，00,0万美元的证券指数化，使用较多数量的方格就需要购买一些零份证券。这将使购买哪些代表每个方格的证券的费用增加，因而也会提高追随误差。为克服这个不足而减少方格的数目，又将增加指数不匹配的追随误差风险，因为指数化证券组合的一些特征可能与这些指数的特点很不相同。

    优化方法

    采用这种方法，货币经营者试图建立这里一种指数化的证券组合，它能与刚刚描述过的方格划分相匹配，并满足其他一些约束条件，但同时会使一些目标实现最优化。其中的一个目标可能就是要使到期收益最大化或使其他收益指标最大化，使凸性最大化，或使预期总收益最大化。限制而不是与这种方格划分相匹配的因素，可能包括不能购买多于一个或一组发行者某个规定数量的债券，以及为强化指数而过分强调某些部门。

    按照这种方法求导对指数化问题最优解的计算方法是数学规划法。当指数编制订者追求最优的目标函数是一个线性函数时，则应使用线性规划（数学规划的一种特殊形式）。如果目标函数是二次函数，则应使用的具体数学规划方法就是二次规划。这种形式使它本身易于做敏感性分析。

    方差最小化方法

    方差最小化方法是迄今最为复杂的方法。使用这种方法就必须用历史数据来估计追随误差的方差。通过为指数中每一种证券估计一个价格函数来做到这一点。价格函数可以根据两组因素进行估计：

    （1）来自证券的按理论上的即期利率经折现的现金流量；

    （2）诸如前面讨论过的那些其他特征。利用一个巨大的证券总体，以及精致的经济计量学方法，就可以从历史数据中估计出价格函数。一旦我们获得了每种证券的价格函数，也就可以为追随误差建立起方差方程。然后的目标就是使建立指数化证券组合时的追随误差的方差最小化。由于方差是一个二次函数（基准收益和指数化的证券组合收益之间的差分是二次的），二次规划就是用于从使追随误差最小二找到最优的指数化证券组合。使用这种方法的最大困难是，很难用历史数据来估算国库券市场上的价格函数，更不用说估计公司债券市场和新债券市场价格函数的困难了。另外，价格函数还可能很不稳定。

    尽管分层抽样或方格方法看来最易于使用，但是当作为基准的证券数目非常大而且多种多样时，要采用这种方法却非常困难。在这种情况下，需要划出许多方格，问题也就变得复杂了。而且，由于为每个方格中选择相应债权是主观的，因此也可能导致追随误差。当利用严格界定的约束条件，并允许在指数制订者充分分析大量数据时，使用数学规划法就能减少问题的复杂性。在实践中，大多数指数编制者都使用最优化方法或方差最小化方法来追随基准指数。